与えられた2つの一次不定方程式の整数解をすべて求める問題です。 (1) $33x + 70y = 1$ (2) $58x + 47y = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの一次不定方程式の整数解をすべて求める問題です。

(1) $33x + 70y = 1$

(2) $58x + 47y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $33x + 70y = 1$ の場合

まず、特殊解をユークリッドの互除法を使って求めます。

$70 = 33 \cdot 2 + 4$

$33 = 4 \cdot 8 + 1$

上記より、

$1 = 33 - 4 \cdot 8 = 33 - (70 - 33 \cdot 2) \cdot 8 = 33 - 70 \cdot 8 + 33 \cdot 16 = 33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8)$

したがって、$33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8) = 1$ となります。

よって、特殊解の一つは $x=17$, $y=-8$ です。

次に、一般解を求めます。

$33x + 70y = 1$

$33 \cdot 17 + 70 \cdot (-8) = 1$

両辺を引き算すると、

$33(x-17) + 70(y+8) = 0$

$33(x-17) = -70(y+8)$

33と70は互いに素なので、$x-17 = 70k$, $y+8 = -33k$ ($k$は整数)とおけます。

したがって、$x = 70k + 17$, $y = -33k - 8$ が一般解です。

(2) $58x + 47y = 1$ の場合

まず、特殊解をユークリッドの互除法を使って求めます。

$58 = 47 \cdot 1 + 11$

$47 = 11 \cdot 4 + 3$

$11 = 3 \cdot 3 + 2$

$3 = 2 \cdot 1 + 1$

上記より、

$1 = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - (11 - 3 \cdot 3) \cdot 1 = 3 - 11 + 3 \cdot 3 = 3 \cdot 4 - 11$

$= (47 - 11 \cdot 4) \cdot 4 - 11 = 47 \cdot 4 - 11 \cdot 16 - 11 = 47 \cdot 4 - 11 \cdot 17$

$= 47 \cdot 4 - (58 - 47 \cdot 1) \cdot 17 = 47 \cdot 4 - 58 \cdot 17 + 47 \cdot 17 = 47 \cdot 21 - 58 \cdot 17$

したがって、$58 \cdot (-17) + 47 \cdot 21 = 1$ となります。

よって、特殊解の一つは $x=-17$, $y=21$ です。

次に、一般解を求めます。

$58x + 47y = 1$

$58 \cdot (-17) + 47 \cdot 21 = 1$

両辺を引き算すると、

$58(x+17) + 47(y-21) = 0$

$58(x+17) = -47(y-21)$

58と47は互いに素なので、$x+17 = 47k$, $y-21 = -58k$ ($k$は整数)とおけます。

したがって、$x = 47k - 17$, $y = -58k + 21$ が一般解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 70k + 17$, $y = -33k - 8$ ($k$は整数)

(2) $x = 47k - 17$, $y = -58k + 21$ ($k$は整数)