数列 $4, x, y$ が等差数列であり、数列 $4, y, x$ が等比数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

数列 $4, x, y$ が等差数列であり、数列 $4, y, x$ が等比数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

等差数列の性質より、$x$ は $4$ と $y$ の相加平均なので、

$x = \frac{4+y}{2}$

$2x = 4 + y$

$y = 2x - 4$

等比数列の性質より、$y$ は $4$ と $x$ の相乗平均なので、

$\frac{y}{4} = \frac{x}{y}$

$y^2 = 4x$

$y = 2x - 4$ を $y^2 = 4x$ に代入する。

$(2x - 4)^2 = 4x$

$4x^2 - 16x + 16 = 4x$

$4x^2 - 20x + 16 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

よって、$x = 1$ または $x = 4$

(i) $x = 1$ のとき

$y = 2x - 4 = 2(1) - 4 = -2$

数列 $4, -2, 1$ は等比数列なので条件を満たす。

(ii) $x = 4$ のとき

$y = 2x - 4 = 2(4) - 4 = 4$

数列 $4, 4, 4$ は等比数列なので条件を満たす。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (1, -2), (4, 4)$