与えられた式 $(a+5)^2 (a-5)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+5)^2 (a-5)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+5)^2$ と $(a-5)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$

$(a-5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(a+5)^2(a-5)^2 = (a^2 + 10a + 25)(a^2 - 10a + 25)$

ここで、$A = a^2 + 25$ と置くと、$A + 10a$ と $A - 10a$ の積になります。

$(A + 10a)(A - 10a) = A^2 - (10a)^2 = A^2 - 100a^2$

$A$ に $a^2 + 25$ を代入すると、

$(a^2 + 25)^2 - 100a^2 = (a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2) - 100a^2 = a^4 + 50a^2 + 625 - 100a^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

3. 最終的な答え

$a^4 - 50a^2 + 625$