与えられた数式を計算して、その結果を求める問題です。数式は $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算して、その結果を求める問題です。数式は

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

最初の分数$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$の分母を有理化するには、分母と分子に$\sqrt{7}+\sqrt{3}$を掛けます。

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\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}

$$$$

$(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

したがって、最初の分数は

$\frac{10+2\sqrt{21}}{4} = \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

次の分数$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$の分母を有理化するには、分母と分子に$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を掛けます。

$$$$

\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}

$$$$

$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$

$(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

したがって、次の分数は

$\frac{10-2\sqrt{21}}{4} = \frac{5-\sqrt{21}}{2}$

与えられた式は

$\frac{5+\sqrt{21}}{2} + \frac{5-\sqrt{21}}{2} = \frac{5+\sqrt{21}+5-\sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

5