多項式 $f(x)$ がある実数 $r_1, ..., r_k, s_1, ..., s_l, t_1, ..., t_l$ を用いて、以下の形に因数分解できることを示してください。 $f(x) = (x - r_1)...(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)...(x^2 + s_lx + t_l)$

1. 問題の内容

多項式 $f(x)$ がある実数 $r_1, ..., r_k, s_1, ..., s_l, t_1, ..., t_l$ を用いて、以下の形に因数分解できることを示してください。

$f(x) = (x - r_1)...(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)...(x^2 + s_lx + t_l)$

2. 解き方の手順

代数学の基本定理より、$f(x)$ は複素数の範囲で因数分解できます。すなわち、

$f(x) = c(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)...(x - \alpha_n)$

ここで、$c$ は定数であり、$\alpha_i$ は $f(x)$ の複素数解です。

次に、$f(x)$ は実係数の多項式なので、もし $\alpha$ が複素数解ならば、その共役複素数 $\overline{\alpha}$ も解になります。

したがって、$f(x)$ の解を実数解と複素数解に分けて考えることができます。

* 実数解：$r_1, r_2, ..., r_k$

実数解に対応する因子は $(x - r_1), (x - r_2), ..., (x - r_k)$ です。

* 複素数解：$\alpha_1, \overline{\alpha_1}, \alpha_2, \overline{\alpha_2}, ..., \alpha_l, \overline{\alpha_l}$

共役な複素数解のペアに対応する因子は、$(x - \alpha_i)(x - \overline{\alpha_i})$ です。

これを展開すると、

$(x - \alpha_i)(x - \overline{\alpha_i}) = x^2 - (\alpha_i + \overline{\alpha_i})x + \alpha_i\overline{\alpha_i}$

ここで、$\alpha_i + \overline{\alpha_i}$ は $\alpha_i$ の実数部の2倍であり、$\alpha_i\overline{\alpha_i}$ は $\alpha_i$ の絶対値の2乗であるため、どちらも実数です。

したがって、$x^2 - (\alpha_i + \overline{\alpha_i})x + \alpha_i\overline{\alpha_i}$ は実係数の2次式となります。

これを $x^2 + s_ix + t_i$ と表すことにします。

以上の議論から、$f(x)$ は実数解に対応する1次式と、共役な複素数解のペアに対応する2次式に因数分解できます。したがって、$f(x)$ は以下の形に因数分解できます。

$f(x) = (x - r_1)...(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)...(x^2 + s_lx + t_l)$

3. 最終的な答え

$f(x)$ は実数 $r_1, ..., r_k, s_1, ..., s_l, t_1, ..., t_l$ を用いて、次の形に因数分解できます。

$f(x) = (x - r_1)...(x - r_k)(x^2 + s_1x + t_1)...(x^2 + s_lx + t_l)$