先生2人と生徒4人が円卓を囲む。 (1) 並び方の総数を求めよ。 (2) 先生2人が向かい合うような並び方は何通りあるか。 (3) 先生2人が隣り合うような並び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

先生2人と生徒4人が円卓を囲む。

(1) 並び方の総数を求めよ。

(2) 先生2人が向かい合うような並び方は何通りあるか。

(3) 先生2人が隣り合うような並び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の総数を求める。

円順列は、並べるものの総数をnとすると、(n-1)!で求められる。

この問題では、先生2人と生徒4人で合計6人なので、$n = 6$となる。

したがって、並び方の総数は $(6-1)!$ で計算できる。

(2) 先生2人が向かい合う場合を考える。

まず、先生2人を固定する。向かい合う席に座らせるので、これは1通りと考える。

次に、残りの生徒4人を並べる。残りの席は4席なので、4人の並び方は4!通りである。

(3) 先生2人が隣り合う場合を考える。

先生2人を1つの組として考える。

この組と生徒4人の合計5つのものを円卓に並べるので、$(5-1)!$通り。

さらに、先生2人の並び順は2!通りある。

したがって、並び方の総数は $(5-1)! \times 2!$ で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) 並び方の総数:

$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り

(2) 先生2人が向かい合うような並び方:

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り

(3) 先生2人が隣り合うような並び方:

$(5-1)! \times 2! = 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$通り

まとめ：

(1) 120通り

(2) 24通り

(3) 48通り