与えられた画像に掲載されている数学の問題を解きます。具体的には以下の問題を解きます。 * 問題25：5個の文字 a, a, b, b, c から3個の文字を選んで、1列に並べる方法は何通りあるか。 * 問題26：3個のさいころを投げるとき、出る目の和が11になる場合は何通りあるか。ただし、さいころは区別しないで目の数だけを区別するものとする。 * 問題27：2つのチーム A, B で優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合で A が勝った場合、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。 * 問題28：次の数について、正の約数は何個あるか。(1) 108 (2) 288 (3) 378 * 問題29：次の硬貨を全部または一部使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか。(1) 10円硬貨5枚, 100円硬貨3枚, 500円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨4枚 * 問題30：大小中3個のさいころを投げるとき、目の和が偶数になる場合は何通りあるか。 * 問題31：2桁の自然数のうち、各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。(1) 奇数になる。(2) 偶数になる。

1. 問題の内容

与えられた画像に掲載されている数学の問題を解きます。具体的には以下の問題を解きます。

* 問題25：5個の文字 a, a, b, b, c から3個の文字を選んで、1列に並べる方法は何通りあるか。

* 問題26：3個のさいころを投げるとき、出る目の和が11になる場合は何通りあるか。ただし、さいころは区別しないで目の数だけを区別するものとする。

* 問題27：2つのチーム A, B で優勝戦を行い、先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合で A が勝った場合、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。

* 問題28：次の数について、正の約数は何個あるか。(1) 108 (2) 288 (3) 378

* 問題29：次の硬貨を全部または一部使って、ちょうど支払うことができる金額は何通りあるか。(1) 10円硬貨5枚, 100円硬貨3枚, 500円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨4枚

* 問題30：大小中3個のさいころを投げるとき、目の和が偶数になる場合は何通りあるか。

* 問題31：2桁の自然数のうち、各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか。(1) 奇数になる。(2) 偶数になる。

2. 解き方の手順

* **問題25**

1. 3つの文字の選び方を考える。

* (a, a, a) : これはありえない。

* (a, a, b), (a, a, c), (b, b, a), (b, b, c): それぞれの並べ方は $3!/2! = 3$ 通り

* (a, b, c): 並べ方は $3! = 6$ 通り

2. それぞれの並べ方の数を合計する。

$3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 18$

* **問題26**

1. 3つのサイコロの目の和が11になる組み合わせを考える(ただし、区別しない)。

* (6, 4, 1), (6, 3, 2), (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3), (4, 4, 3)

2. 組み合わせの数を数える。

6通り

* **問題27**

1. Aが最初の試合に勝っているので、残りの試合でAが1勝するか、Bが2勝すれば優勝が決まる。

2. Aが1勝する場合：Aが2試合目で勝つ。A-A。または、2試合目で引き分けで、3試合目で勝つ。A-引-A,など。

3. Bが2勝する場合：A-B-B, A-引-B-B, A-B-引-B, A-引-B-引-B, A-引-引-B-B, A-B-引-引-B, A-引-B-引-引-B, A-引-引-B-引-B, A-引-引-引-B-B,...

4. Aが優勝する場合: A-A, A-引-A, A-引-引-A, ...

5. Bが優勝する場合: A-B-B, A-引-B-B, A-B-引-B, A-引-B-引-B, ...

Aが最初に勝利しているので、優勝が決定するのは2勝した場合。

(1) Aがストレートで勝つ: AA (1通り)

(2) Aが3試合目で勝つ: A引A, ABA （2通り)

(3) Aが4試合目で勝つ: A引引A, A引BA, AB引A, ABB引A,ABA (3通り)

(4) Bが3試合目で勝つ: A引B B, ABB (2通り)

(5) Bが4試合目で勝つ: A引引B B, A引B 引B, AB引引B, ABB

引=B. 3試合でA,4試合でAのパターンは引回数で場合分け

３試合でB,４試合でBのパターンは引回数で場合分け

最終的に優勝パターンはAが勝つ場合とBが勝つ場合を足し合わせる。

(Aが最初に勝利する場合の全パターン)

AA, A引A, A引引A, A引引引A, ....

ABA, A引BA, AB引A, ....

ABB, A引BB, AB引B, ABBB,...

A引B引Aなど

3試合：AA(A), ABA, A引A, ABB

4試合：A引引A, AB引A, A引BA, ABB引, A引引B, A引B引, AB引引

5試合：A引引引A, AB引引A, AB引A引, A引BA引, A引引BA, A引B引引

AABB

最終的には場合分けが多く、難しい

* **問題28**

1. 素因数分解を行う。

* (1) $108 = 2^2 \times 3^3$

* (2) $288 = 2^5 \times 3^2$

* (3) $378 = 2 \times 3^3 \times 7$

2. 約数の個数を計算する。

* (1) $(2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$ 個

* (2) $(5+1)(2+1) = 6 \times 3 = 18$ 個

* (3) $(1+1)(3+1)(1+1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$ 個

* **問題29**

1. (1)

* 10円硬貨で支払える金額：0, 10, 20, 30, 40, 50円 (6通り)

* 100円硬貨で支払える金額：0, 100, 200, 300円 (4通り)

* 500円硬貨で支払える金額：0, 500, 1000, 1500円 (4通り)

* 合計金額の組み合わせ: $6 \times 4 \times 4 = 96$通り

* ただし、全て0円の場合を除くので、96 - 1 = 95通り

2. (2)

* 10円硬貨で支払える金額：0, 10, 20円 (3通り)

* 50円硬貨で支払える金額：0, 50, 100, 150円 (4通り)

* 100円硬貨で支払える金額：0, 100, 200, 300, 400円 (5通り)

* 合計金額の組み合わせ: $3 \times 4 \times 5 = 60$通り

* ただし、全て0円の場合を除くので、60 - 1 = 59通り

* **問題30**

1. 3つのサイコロの目の和が偶数になるのは、3つとも偶数か、1つが偶数で残り2つが奇数の場合。

2. 3つとも偶数の場合: $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り

3. 1つが偶数で残り2つが奇数の場合: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 通り

4. 合計: $27 + 81 = 108$ 通り

* **問題31**

1. (1) 積が奇数になるのは、2つの数字が共に奇数の場合。

* 2桁の奇数は、1, 3, 5, 7, 9。

* 十の位も一の位も奇数である必要があるため、5 * 5 = 25個

2. (2) 積が偶数になるのは、少なくとも1つの数字が偶数の場合。

* 2桁の整数の個数：90個 (10~99)

* 積が奇数になる2桁の整数が25個なので、積が偶数になる2桁の整数は90-25 = 65個

3. 最終的な答え

* 問題25：18通り

* 問題26：6通り

* 問題28：(1) 12個、(2) 18個、(3) 16個

* 問題29：(1) 95通り、(2) 59通り

* 問題30：108通り

* 問題31：(1) 25個、(2) 65個