全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ に対して、要素の個数が $n(U) = 20, n(A \cup B) = 17, n(B) = 9$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。 (3) $\bar{A} \cap B$ (2) $A \cap \bar{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ に対して、要素の個数が $n(U) = 20, n(A \cup B) = 17, n(B) = 9$ であるとき、以下の集合の要素の個数を求めます。

(3) $\bar{A} \cap B$

(2) $A \cap \bar{B}$

2. 解き方の手順

まず、$n(A \cup B)$ の公式を利用して、$n(A)$ を求めます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

ここで、$n(A \cap B)$ は不明なので、このままでは $n(A)$ を求めることができません。

しかし、$A \cup B$ の補集合を考えると、

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 20 - 17 = 3$

となります。

次に、集合 $B$ を、$A$との共通部分と共通部分でない部分に分けます。つまり、

$B = (A \cap B) \cup (\bar{A} \cap B)$

より、

$n(B) = n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B)$

となります。よって、$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ です。

一方、

$A \cup B = A \cup (\bar{A} \cap B)$ であり、 $A$ と $\bar{A} \cap B$ は共通部分を持たないので、

$n(A \cup B) = n(A) + n(\bar{A} \cap B)$

が成り立ちます。これに、$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ を代入すると、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

となり、これは最初に書いた $n(A \cup B)$ の公式と同じです。

$n(A)$ と $n(A \cap B)$ を求めるために、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を変形します。

$n(A) = n(A \cup B) - n(B) + n(A \cap B) = 17 - 9 + n(A \cap B) = 8 + n(A \cap B)$

また、$\bar{A} \cap B = B - (A \cap B)$ より $n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 9 - n(A \cap B)$

そして、$A \cap \bar{B} = A - (A \cap B)$ より $n(A \cap \bar{B}) = n(A) - n(A \cap B) = (8 + n(A \cap B)) - n(A \cap B) = 8$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$17 = n(A) + 9 - n(A \cap B)$

$n(A) = 8 + n(A \cap B)$

$A \cup B = (A \cap \bar{B}) \cup B$ であり、 $(A \cap \bar{B})$ と $B$ は互いに素なので、

$n(A \cup B) = n(A \cap \bar{B}) + n(B)$

$17 = n(A \cap \bar{B}) + 9$

$n(A \cap \bar{B}) = 8$

$n(A \cap \bar{B}) + n(\bar{A} \cap B) + n(A \cap B) = n(A \cup B) = 17$

また、$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ より、$n(\bar{A} \cap B) = 9 - n(A \cap B)$

$8 + 9 - n(A \cap B) + n(A \cap B) = 17$

$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$ なので、$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 9 - n(A \cap B)$

$n(A) + n(\bar{A}) = n(U)$

$n(A \cap \bar{B}) + n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B) + n(\overline{A \cup B}) = n(U)$

$8 + n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B) + 3 = 20$

$n(A \cap B) + n(\bar{A} \cap B) = 9$

$n(\bar{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(\bar{A} \cap B) = 9 - n(A \cap B)$

$n(\bar{A} \cap B) = 9 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 0$ より、$n(\bar{A} \cap B) = 9$

3. 最終的な答え

$\bar{A} \cap B$ の要素の個数: 9

$A \cap \bar{B}$ の要素の個数: 8