多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが1、$x+1$ で割った余りが5であるとき、$P(x)$ を $(x-3)(x+1)$ で割った余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが1、$x+1$ で割った余りが5であるとき、$P(x)$ を $(x-3)(x+1)$ で割った余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-3)(x+1)$ で割った余りを $ax + b$ とおきます。

このとき、$P(x)$ は次のように表されます。

$P(x) = (x-3)(x+1)Q(x) + ax + b$

ここで、$Q(x)$ は商です。

$P(x)$ を $x-3$ で割った余りが1であることから、$P(3) = 1$ が成り立ちます。上の式に $x = 3$ を代入すると、

$P(3) = (3-3)(3+1)Q(3) + 3a + b = 3a + b$

$3a + b = 1$

$P(x)$ を $x+1$ で割った余りが5であることから、$P(-1) = 5$ が成り立ちます。上の式に $x = -1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1-3)(-1+1)Q(-1) - a + b = -a + b$

$-a + b = 5$

これより、$3a + b = 1$ と $-a + b = 5$ という2つの式が得られました。

この連立方程式を解きます。

$-a + b = 5$ より $b = a + 5$ なので、これを $3a + b = 1$ に代入すると、

$3a + (a+5) = 1$

$4a + 5 = 1$

$4a = -4$

$a = -1$

これを $b = a + 5$ に代入すると、

$b = -1 + 5 = 4$

したがって、余りは $-x + 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-x+4$