2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ について、以下の問いに答える。 (1) 異なる2つの虚数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) 異なる2つの負の解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ について、以下の問いに答える。

(1) 異なる2つの虚数解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) 異なる2つの負の解をもつとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの虚数解をもつ条件は、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D$ は、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m-2)(m+1)$

$D < 0$ より、

$4(m-2)(m+1) < 0$

$(m-2)(m+1) < 0$

$-1 < m < 2$

(2) 異なる2つの負の解をもつ条件は、以下の3つである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 解の和が負

(iii) 解の積が正

(i) $D > 0$ より、 $(m-2)(m+1) > 0$

$m < -1$ または $2 < m$

(ii) 解の和は、解と係数の関係より $2m$ である。

$2m < 0$ より、$m < 0$

(iii) 解の積は、解と係数の関係より $m+2$ である。

$m+2 > 0$ より、$m > -2$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲は、

$m < -1$ または $2 < m$

$m < 0$

$m > -2$

より、$-2 < m < -1$

3. 最終的な答え

(1) $-1 < m < 2$

(2) $-2 < m < -1$