$n$ は3以上の奇数であるとして、多項式 $P(x) = x^n - ax^2 - bx + 2$ を考える。 (1) $P(x)$ が $x^2 - 4$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (2) $P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$n$ は3以上の奇数であるとして、多項式 $P(x) = x^n - ax^2 - bx + 2$ を考える。

(1) $P(x)$ が $x^2 - 4$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(2) $P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ が $x^2 - 4$ で割り切れるとき、 $P(2) = 0$ かつ $P(-2) = 0$ が成り立つ。

$P(2) = 2^n - 4a - 2b + 2 = 0$

$2^n - 4a - 2b + 2 = 0$

$P(-2) = (-2)^n - 4a + 2b + 2 = 0$

$(-2)^n - 4a + 2b + 2 = 0$

$n$ は奇数なので、 $(-2)^n = -2^n$

$-2^n - 4a + 2b + 2 = 0$

2つの式を足すと

$(2^n - 4a - 2b + 2) + (-2^n - 4a + 2b + 2) = 0$

$-8a + 4 = 0$

$8a = 4$

$a = \frac{1}{2}$

2つの式を引くと

$(2^n - 4a - 2b + 2) - (-2^n - 4a + 2b + 2) = 0$

$2 \cdot 2^n - 4b = 0$

$2^{n+1} = 4b$

$b = 2^{n-1}$

(2) $P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$P(-1) = 0$ かつ $P'(-1) = 0$ が成り立つ。

$P(-1) = (-1)^n - a(-1)^2 - b(-1) + 2 = 0$

$-1 - a + b + 2 = 0$

$-a + b + 1 = 0$

$b = a - 1$

$P'(x) = nx^{n-1} - 2ax - b$

$P'(-1) = n(-1)^{n-1} - 2a(-1) - b = 0$

$n - 1$ は偶数なので、 $(-1)^{n-1} = 1$

$n + 2a - b = 0$

$n + 2a - (a - 1) = 0$

$n + a + 1 = 0$

$a = -n - 1$

$b = a - 1 = -n - 1 - 1 = -n - 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$, $b = 2^{n-1}$

(2) $a = -n - 1$, $b = -n - 2$