袋の中に白玉が3個、赤玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が3個、赤玉が4個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した白玉の個数を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の分散 $V(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

$X$ は、3個の玉を取り出すときに含まれる白玉の個数なので、$X$ がとりうる値は0, 1, 2, 3である。

それぞれの確率を計算する。

袋の中には合計7個の玉が入っており、そのうち3個を取り出す組み合わせの総数は ${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

* $X = 0$ のとき（白玉0個、赤玉3個）：

確率は $P(X=0) = \frac{{}_3C_0 \times {}_4C_3}{{}_7C_3} = \frac{1 \times 4}{35} = \frac{4}{35}$

* $X = 1$ のとき（白玉1個、赤玉2個）：

確率は $P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_4C_2}{{}_7C_3} = \frac{3 \times 6}{35} = \frac{18}{35}$

* $X = 2$ のとき（白玉2個、赤玉1個）：

確率は $P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_4C_1}{{}_7C_3} = \frac{3 \times 4}{35} = \frac{12}{35}$

* $X = 3$ のとき（白玉3個、赤玉0個）：

確率は $P(X=3) = \frac{{}_3C_3 \times {}_4C_0}{{}_7C_3} = \frac{1 \times 1}{35} = \frac{1}{35}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = \sum_{i=0}^3 i \times P(X=i) = 0 \times \frac{4}{35} + 1 \times \frac{18}{35} + 2 \times \frac{12}{35} + 3 \times \frac{1}{35} = \frac{18+24+3}{35} = \frac{45}{35} = \frac{9}{7}$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = \sum_{i=0}^3 i^2 \times P(X=i) = 0^2 \times \frac{4}{35} + 1^2 \times \frac{18}{35} + 2^2 \times \frac{12}{35} + 3^2 \times \frac{1}{35} = \frac{18+48+9}{35} = \frac{75}{35} = \frac{15}{7}$

最後に、$X$ の分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{15}{7} - (\frac{9}{7})^2 = \frac{15}{7} - \frac{81}{49} = \frac{105-81}{49} = \frac{24}{49}$

3. 最終的な答え

$X$ の分散は $\frac{24}{49}$ です。