1つのサイコロを振り、出た目が3の倍数（3または6）のとき3点、3の倍数でないとき（1, 2, 4, 5）-1点を得るゲームを180回繰り返したとき、得点の合計の平均と分散を求める問題です。

1. 問題の内容

1つのサイコロを振り、出た目が3の倍数（3または6）のとき3点、3の倍数でないとき（1, 2, 4, 5）-1点を得るゲームを180回繰り返したとき、得点の合計の平均と分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行における得点の期待値と分散を計算します。

3の倍数が出る確率は $2/6 = 1/3$ で、このとき3点を得ます。3の倍数でない確率 (1,2,4,5が出る確率)は $4/6 = 2/3$ で、このとき-1点を得ます。

1回の試行における得点の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 3 \times \frac{1}{3} + (-1) \times \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

1回の試行における得点の2乗の期待値 $E(X^2)$ は、

$E(X^2) = 3^2 \times \frac{1}{3} + (-1)^2 \times \frac{2}{3} = 9 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$

1回の試行における得点の分散 $V(X)$ は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{11}{3} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{11}{3} - \frac{1}{9} = \frac{33}{9} - \frac{1}{9} = \frac{32}{9}$

180回の試行における得点の合計の期待値（平均） $E(180X)$ は、期待値の線形性より

$E(180X) = 180 \times E(X) = 180 \times \frac{1}{3} = 60$

180回の試行における得点の合計の分散 $V(180X)$ は、各試行が独立であることから、

$V(180X) = 180 \times V(X) = 180 \times \frac{32}{9} = 20 \times 32 = 640$

3. 最終的な答え

平均は60、分散は640。