3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の数の和が6になる場合は何通りあるか。

1. 問題の内容

3つのサイコロA, B, Cを投げたとき、出た目の数の和が6になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

A, B, Cのサイコロの目をそれぞれ$a, b, c$とする。

$a + b + c = 6$ となる$a, b, c$の組み合わせを求める問題である。

ただし、$1 \le a \le 6$, $1 \le b \le 6$, $1 \le c \le 6$ である。

まず、$a', b', c'$を、$a' = a - 1$, $b' = b - 1$, $c' = c - 1$と定義する。

すると、$a' \ge 0$, $b' \ge 0$, $c' \ge 0$であり、$a' + 1 + b' + 1 + c' + 1 = 6$となる。

したがって、$a' + b' + c' = 3$となる非負整数の組み合わせを求めることになる。

これは、3つの区別できない球を3つの区別できる箱に入れる場合の数と同じである。

仕切りの考え方を用いて、球を3個、仕切りを2個並べる順列の数を求める。

つまり、5個の場所から2個の仕切りの場所を選ぶ組み合わせを考えれば良い。

組み合わせの数は、$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

ただし、元の問題では、サイコロの目の最大値が6であるという条件がある。

$a' + b' + c' = 3$を満たす非負整数$a', b', c'$に対して、$a = a' + 1, b = b' + 1, c = c' + 1$であるから、$a, b, c$はそれぞれ1以上である。

また、$a' \le 3, b' \le 3, c' \le 3$であるから、$a \le 4, b \le 4, c \le 4$である。

したがって、$a, b, c$は6以下という条件も満たしている。

例えば、$a' = 3, b' = 0, c' = 0$のとき、$a = 4, b = 1, c = 1$となる。

$a' = 1, b' = 1, c' = 1$のとき、$a = 2, b = 2, c = 2$となる。

したがって、求める場合の数は10通りである。

3. 最終的な答え

10通り