大小中小の3つのサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 目の数がすべて異なる。 (2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。 (3) 目の積が3の倍数である。 (4) 目の和が奇数である。

1. 問題の内容

大小中小の3つのサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 目の数がすべて異なる。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである。

(3) 目の積が3の倍数である。

(4) 目の和が奇数である。

2. 解き方の手順

(1) 目の数がすべて異なる場合

まず、3つのサイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りあります。

3つのサイコロの目が全て異なる組み合わせは、まず1つ目のサイコロの目が6通り、2つ目のサイコロの目が1つ目のサイコロの目と異なる5通り、3つ目のサイコロの目が1つ目と2つ目のサイコロの目と異なる4通りなので、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

(2) 少なくとも2つのサイコロの目が同じである場合

これは、(1)の余事象です。つまり、全ての目の出方から、全て異なる目の出方を引けば、少なくとも2つのサイコロの目が同じになる場合の数になります。

したがって、$216 - 120 = 96$ 通りです。

(3) 目の積が3の倍数である場合

これは、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数（3または6）である場合です。

余事象を考えると、全てのサイコロの目が3の倍数でない場合を考えます。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4通りなので、3つのサイコロの目が全て3の倍数でない場合の数は $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通りです。

したがって、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数である場合の数は $216 - 64 = 152$ 通りです。

(4) 目の和が奇数である場合

目の和が奇数になるのは、奇数の目が1つまたは3つの場合です。

3つの目が全て奇数の場合、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

奇数の目が1つの場合、まずどのサイコロが奇数かを3通り選びます。

奇数の目は3通り、残りの2つのサイコロは偶数なのでそれぞれ3通りです。したがって、$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ 通りです。

よって、目の和が奇数となるのは $27 + 81 = 108$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り