確率変数 $X$ が $0 \le X \le 2$ の範囲で値をとり、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) で与えられているとき、$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が $0 \le X \le 2$ の範囲で値をとり、その確率密度関数 $f(x)$ が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) で与えられているとき、$X$ の分散 $V(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$$E(X) = \int_{0}^{2} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

次に、$E(X^2)$ を計算します。

$$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{4} = 2$$

分散 $V(X)$ は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - \left( \frac{4}{3} \right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18 - 16}{9} = \frac{2}{9}$$

最後に、標準偏差 $\sigma(X)$ は $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ で計算できます。

$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$

3. 最終的な答え

分散: $V(X) = \frac{2}{9}$

標準偏差: $\sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{3}$