与えられた図の斜線部分を表す不等式を求める問題です。境界線を含むものとします。図は2つあります。

1. 問題の内容

与えられた図の斜線部分を表す不等式を求める問題です。境界線を含むものとします。図は2つあります。

2. 解き方の手順

(1) の斜線部分は三角形です。三角形の3つの辺を表す直線の方程式を求め、それぞれの直線に関して斜線部分がどちら側にあるかを判断し、不等式を立てます。

(2) の斜線部分は円と直線で囲まれた部分です。円の方程式と直線の方程式を求め、それぞれの図形に関して斜線部分がどちら側にあるかを判断し、不等式を立てます。

(1)

まず、3つの頂点、(2,4)、(5,1)、(-1,-1) を持つ三角形の各辺の方程式を求めます。

1. 点 (2,4) と (5,1) を通る直線の方程式:

傾きは $m = (1-4) / (5-2) = -3/3 = -1$ です。

点 (2,4) を通るので、方程式は $y - 4 = -1(x - 2)$ つまり $y = -x + 6$ となります。

この直線に関して、原点 (0,0) は $0 < -0 + 6$ を満たすので、斜線部分は $y \le -x + 6$ を満たします。

2. 点 (2,4) と (-1,-1) を通る直線の方程式:

傾きは $m = (-1-4) / (-1-2) = -5 / -3 = 5/3$ です。

点 (2,4) を通るので、方程式は $y - 4 = (5/3)(x - 2)$ つまり $y = (5/3)x + 2/3$ となります。

$3y = 5x + 2$ と書き換えられます。この直線に関して、(5,1)は$3(1) = 3 \le 5(5)+2 = 27$を満たし、斜線部分にあるので $3y \ge 5x + 2$ を満たします。

3. 点 (5,1) と (-1,-1) を通る直線の方程式:

傾きは $m = (-1-1) / (-1-5) = -2 / -6 = 1/3$ です。

点 (5,1) を通るので、方程式は $y - 1 = (1/3)(x - 5)$ つまり $y = (1/3)x - 2/3$ となります。

$3y = x - 2$ と書き換えられます。この直線に関して、(2,4) は $3(4) = 12 \ge 2-2 = 0$を満たし、斜線部分にあるので $3y \ge x - 2$ を満たします。

したがって、(1) の答えは、

$y \le -x + 6$

$3y \ge 5x + 2$

$3y \ge x - 2$

(2)

円の中心は原点(0,0)で、半径は2なので、円の方程式は $x^2 + y^2 = 4$ です。斜線部分は円の内側にあるので、$x^2 + y^2 \le 4$ を満たします。

直線は点 (2,0) と (0,2) を通るので、傾きは $m = (2-0)/(0-2) = -1$ です。y切片は2なので、直線の方程式は $y = -x + 2$ です。この直線に関して、原点 (0,0) は $0 \le -0 + 2$ を満たすので、斜線部分は $y \le -x + 2$ を満たします。

したがって、(2) の答えは、

$x^2 + y^2 \le 4$

$y \le -x + 2$

3. 最終的な答え

(1)

$y \le -x + 6$

$3y \ge 5x + 2$

$3y \ge x - 2$

(2)

$x^2 + y^2 \le 4$

$y \le -x + 2$