直角三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, ∠C=90°である。三角形ABCに内接する円をO1とし、次に円O1と辺AB, BCに接する円をO2とする。以下、図のように順にO3,..., On,...を作図する。円On (n=1, 2,...)の半径を$r_n$, 面積を$S_n$とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $r_1$を求めよ。 (2) $sin(\frac{B}{2})$を求めよ。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$が収束することを示し、その値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題166を解いていきましょう。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=8, BC=7, ∠C=90°である。三角形ABCに内接する円をO1とし、次に円O1と辺AB, BCに接する円をO2とする。以下、図のように順にO3,..., On,...を作図する。円On (n=1, 2,...)の半径を$r_n$, 面積を$S_n$とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $r_1$を求めよ。

(2) $sin(\frac{B}{2})$を求めよ。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$が収束することを示し、その値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $r_1$の計算

直角三角形ABCにおいて、ACの長さを三平方の定理を用いて計算します。

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{64 - 49} = \sqrt{15}$

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{15} = \frac{7\sqrt{15}}{2}$

内接円の半径$r_1$は、三角形の面積と周囲の長さの関係から求めることができます。三角形の周囲の長さLは、

$L = AB + BC + AC = 8 + 7 + \sqrt{15} = 15 + \sqrt{15}$

内接円の半径と三角形の面積の関係は、$S = \frac{1}{2} r_1 L$なので、

$r_1 = \frac{2S}{L} = \frac{2 \times \frac{7\sqrt{15}}{2}}{15 + \sqrt{15}} = \frac{7\sqrt{15}}{15 + \sqrt{15}}$

分母を有理化します。

$r_1 = \frac{7\sqrt{15}(15 - \sqrt{15})}{(15 + \sqrt{15})(15 - \sqrt{15})} = \frac{7\sqrt{15}(15 - \sqrt{15})}{225 - 15} = \frac{7\sqrt{15}(15 - \sqrt{15})}{210} = \frac{\sqrt{15}(15 - \sqrt{15})}{30} = \frac{15\sqrt{15} - 15}{30} = \frac{\sqrt{15} - 1}{2}$

(2) $sin(\frac{B}{2})$の計算

$sinB = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

半角の公式 $sin^2(\frac{B}{2}) = \frac{1 - cosB}{2}$を利用します。

$cosB = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{8}$

$sin^2(\frac{B}{2}) = \frac{1 - \frac{7}{8}}{2} = \frac{\frac{1}{8}}{2} = \frac{1}{16}$

$sin(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$の計算

円Onの半径$r_n$は等比数列をなします。公比を$k$とすると、$r_n = r_1 \times k^{n-1}$です。

$\frac{r_2}{r_1} = k$

円の中心間の距離を考えると、$k = (\frac{1 - sin(\frac{B}{2})}{1 + sin(\frac{B}{2})})^2 = (\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}})^2 = (\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

したがって、$r_n = r_1 \times (\frac{9}{25})^{n-1}$

$S_n = \pi r_n^2 = \pi (r_1 \times (\frac{9}{25})^{n-1})^2 = \pi r_1^2 (\frac{81}{625})^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} \pi r_1^2 (\frac{81}{625})^{n-1} = \pi r_1^2 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{81}{625})^{n-1}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \pi r_1^2 \times \frac{1}{1 - \frac{81}{625}} = \pi r_1^2 \times \frac{1}{\frac{544}{625}} = \pi r_1^2 \times \frac{625}{544}$

$r_1 = \frac{\sqrt{15} - 1}{2}$なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \pi (\frac{\sqrt{15} - 1}{2})^2 \times \frac{625}{544} = \pi \frac{15 - 2\sqrt{15} + 1}{4} \times \frac{625}{544} = \pi \frac{16 - 2\sqrt{15}}{4} \times \frac{625}{544} = \pi (4 - \frac{\sqrt{15}}{2}) \times \frac{625}{544} = \pi (\frac{8 - \sqrt{15}}{2}) \times \frac{625}{544} = \frac{625\pi (8 - \sqrt{15})}{1088}$

3. 最終的な答え

(1) $r_1 = \frac{\sqrt{15} - 1}{2}$

(2) $sin(\frac{B}{2}) = \frac{1}{4}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{625\pi (8 - \sqrt{15})}{1088}$