複素数 $2+i$ を用いた方程式が与えられており、その方程式を満たす実数 $a$ と $b$ を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。 $$(2+i)^3 + a(2+i)^2 + b(2+i) + 5 = 0$$

1. 問題の内容

複素数 $2+i$ を用いた方程式が与えられており、その方程式を満たす実数 $a$ と $b$ を求める問題です。与えられた方程式は以下の通りです。

$$(2+i)^3 + a(2+i)^2 + b(2+i) + 5 = 0$$

2. 解き方の手順

まず、$(2+i)^3$ と $(2+i)^2$ を計算します。

$(2+i)^2 = (2+i)(2+i) = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$

$(2+i)^3 = (2+i)(2+i)^2 = (2+i)(3+4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$

これらの結果を方程式に代入します。

$$(2+11i) + a(3+4i) + b(2+i) + 5 = 0$$

実部と虚部に分けて整理します。

$$(2+3a+2b+5) + (11+4a+b)i = 0$$

$$(3a+2b+7) + (4a+b+11)i = 0$$

複素数が0になるためには、実部と虚部がともに0である必要があります。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$$3a + 2b + 7 = 0$$

$$4a + b + 11 = 0$$

2番目の式から $b$ を求めると、

$b = -4a - 11$

これを1番目の式に代入します。

$$3a + 2(-4a - 11) + 7 = 0$$

$$3a - 8a - 22 + 7 = 0$$

$$-5a - 15 = 0$$

$$-5a = 15$$

$$a = -3$$

$a = -3$ を $b = -4a - 11$ に代入します。

$$b = -4(-3) - 11 = 12 - 11 = 1$$

したがって、$a = -3$ かつ $b = 1$ です。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 1$