半径$a+b$の円Oの中に、直径が$2a$の半円と直径が$2b$の半円が描かれている。円Oは、これらの半円の弧によって2つの部分PとQに分けられる。PとQの面積の比を求める。

1. 問題の内容

半径$a+b$の円Oの中に、直径が$2a$の半円と直径が$2b$の半円が描かれている。円Oは、これらの半円の弧によって2つの部分PとQに分けられる。PとQの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

* 円Oの面積を計算する。円Oの半径は$a+b$なので、面積は$\pi(a+b)^2$である。

* 直径が$2a$の半円の面積を計算する。半径は$a$なので、面積は$\frac{1}{2}\pi a^2$である。

* 直径が$2b$の半円の面積を計算する。半径は$b$なので、面積は$\frac{1}{2}\pi b^2$である。

* 領域Pの面積を計算する。これは、円Oの面積から2つの半円の面積を引いたものである。

$P = \pi(a+b)^2 - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2 = \pi(a^2 + 2ab + b^2) - \frac{1}{2}\pi a^2 - \frac{1}{2}\pi b^2 = \frac{1}{2}\pi a^2 + 2\pi ab + \frac{1}{2}\pi b^2 = \frac{\pi}{2}(a^2 + 4ab + b^2)$

* 領域Qの面積を計算する。これは、円Oの面積から領域Pの面積を引いたものである。あるいは2つの半円の面積の和として計算しても良い。

$Q = \frac{1}{2}\pi a^2 + \frac{1}{2}\pi b^2 = \frac{\pi}{2}(a^2 + b^2)$

* PとQの面積の比を計算する。

$\frac{P}{Q} = \frac{\frac{\pi}{2}(a^2 + 4ab + b^2)}{\frac{\pi}{2}(a^2 + b^2)} = \frac{a^2 + 4ab + b^2}{a^2 + b^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{a^2 + 4ab + b^2}{a^2 + b^2}$