与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$2x^2 + (5y + 3)x + (3y^2 + 4y + 1)$

次に、定数項である $3y^2 + 4y + 1$ を因数分解します。

$3y^2 + 4y + 1 = (3y + 1)(y + 1)$

よって、与えられた式は

$2x^2 + (5y + 3)x + (3y + 1)(y + 1)$

これを $(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解することを考えます。

$ac = 3$ および $bd = 1$ となるように $a, b, c, d$ を定めます。

また、$ad + bc = 5$ および $2d + b = 3$ となるように $a, b, c, d$ を定めれば良いです。

$a = 3, c = 1, b = 1, d = 1$ とすると

$ad + bc = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4$ となり、$5$ に一致しません。

$a = 1, c = 3, b = 1, d = 1$ とすると

$ad + bc = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 4$ となり、$5$ に一致しません。

$3y+1$と$y+1$に着目して式を眺めると、$2x+3y+1$と$x+y+1$の積になることが予想できる。

$(2x+3y+1)(x+y+1) = 2x^2 + 2xy + 2x + 3xy + 3y^2 + 3y + x + y + 1$

$= 2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(x + y + 1)$