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与えられた式 $(2x^2 + x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$ を展開せよ。

代数学式の展開多項式因数分解代数
2025/5/14

1. 問題の内容

与えられた式 (2x2+x+1)(2x2−2x+1)(2x^2 + x + 1)(2x^2 - 2x + 1) を展開せよ。

2. 解き方の手順

この式を展開するために、分配法則を用います。まず、2x2+x+12x^2 + x + 1 を AA、2x2+12x^2 + 1 を BB、そして −2x-2x を −C-C と置くと、与えられた式は (B+x)(B−x)(B + x)(B - x) と表せます。さらに、B=2x2+1B = 2x^2 + 1 とすると、BBは共通なので、和と差の積の公式 (A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 を利用します。具体的には、次のように展開します。
(2x2+x+1)(2x2−2x+1)=(2x2+1+x)(2x2+1−x)(2x^2 + x + 1)(2x^2 - 2x + 1) = (2x^2 + 1 + x)(2x^2 + 1 - x)
ここで、2x2+12x^2 + 1 を AA と置くと、
(A+x)(A−x)=A2−x2(A + x)(A - x) = A^2 - x^2
したがって、
(2x2+1)2−x2(2x^2 + 1)^2 - x^2
次に、(2x2+1)2(2x^2 + 1)^2 を展開します。
(2x2+1)2=(2x2)2+2(2x2)(1)+12=4x4+4x2+1(2x^2 + 1)^2 = (2x^2)^2 + 2(2x^2)(1) + 1^2 = 4x^4 + 4x^2 + 1
したがって、
4x4+4x2+1−x2=4x4+3x2+14x^4 + 4x^2 + 1 - x^2 = 4x^4 + 3x^2 + 1

3. 最終的な答え

4x4+3x2+14x^4 + 3x^2 + 1

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