(1) $a+b=\sqrt{2}$, $b+c=\sqrt{3}$, $c+a=\sqrt{5}$のとき、$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{b}$ の整数部分を求める。 (3) aからfまでのアルファベット6文字とハイフン(-)2個を並べて文字列を作る。このとき、文字列の先頭と末尾がアルファベットで、かつ連続したハイフンがない文字列の総数を求める。 (4) $xy$ 平面上にある直線 $ax-y+2=0$ は、定点 $A(0, [7])$ を通る。また、この直線が原点を中心とする半径1の円に接するとき、$a=\pm\sqrt{[8]}$ である。

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) $a+b=\sqrt{2}$, $b+c=\sqrt{3}$, $c+a=\sqrt{5}$のとき、$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、$\frac{1}{b}$ の整数部分を求める。

(3) aからfまでのアルファベット6文字とハイフン(-)2個を並べて文字列を作る。このとき、文字列の先頭と末尾がアルファベットで、かつ連続したハイフンがない文字列の総数を求める。

(4) $xy$ 平面上にある直線 $ax-y+2=0$ は、定点 $A(0, [7])$ を通る。また、この直線が原点を中心とする半径1の円に接するとき、$a=\pm\sqrt{[8]}$ である。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a+b=\sqrt{2}$, $b+c=\sqrt{3}$, $c+a=\sqrt{5}$ を用いて、$a+b+c$ を求める。

$a+b=\sqrt{2}$, $b+c=\sqrt{3}$, $c+a=\sqrt{5}$ より、

$2(a+b+c) = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$.

よって、$a+b+c = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$.

次に、$a, b, c$ をそれぞれ求める。

$c = (a+b+c) - (a+b) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} - \sqrt{2} = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$

$a = (a+b+c) - (b+c) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$

$b = (a+b+c) - (c+a) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2} - \sqrt{5} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{2}$

求める式を変形すると、

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca = \frac{1}{2}((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2) = \frac{1}{2}((\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(\sqrt{5})^2)=\frac{1}{2}(2+3+5) = 5$.

(2) まず、$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ を有理化する。

$\frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{3+\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$.

ここで、$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$5 < 3+\sqrt{7} < 6$.

よって、$\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{7}}{2} < \frac{6}{2}=3$.

したがって、$\frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{2}$ の整数部分 $a$ は 2である。

小数部分 $b = \frac{3+\sqrt{7}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{7}-4}{2} = \frac{\sqrt{7}-1}{2}$.

$\frac{1}{b} = \frac{2}{\sqrt{7}-1} = \frac{2(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{2(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{2(\sqrt{7}+1)}{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{3}$.

$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より、$2 < \sqrt{7} < 3$.

$3 < \sqrt{7}+1 < 4$ より、$1 < \frac{\sqrt{7}+1}{3} < \frac{4}{3} = 1.333...$.

よって、$\frac{1}{b} = \frac{\sqrt{7}+1}{3}$ の整数部分は 1 である。

(3) 6個のアルファベットと2個のハイフンを並べる。文字列の先頭と末尾がアルファベットであり、かつ連続したハイフンがない文字列の総数を求める。

まず、6個のアルファベットを並べる。これは $6!$ 通り。

次に、ハイフンが連続しないように並べる。

アルファベット6文字を並べたとき、その間または端にハイフンを入れる場所は7箇所ある。

その7箇所から2箇所を選んでハイフンを入れる方法は、${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通り。

よって、条件を満たす文字列の総数は $6! \times 21 = 720 \times 21 = 15120$ 通り。

(4) 直線 $ax-y+2=0$ は、定点A(0, [7])を通る。

$x=0$ を代入すると、 $-y+2=0$ より $y=2$.

したがって、定点 $A(0, 2)$ を通る。

直線が原点を中心とする半径1の円に接するとき、$a=\pm\sqrt{[8]}$ である。

直線 $ax-y+2=0$ と原点との距離が1であるから、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|a(0)-0+2|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} = 1$.

$\frac{|2|}{\sqrt{a^2+1}} = 1$.

$4 = a^2+1$.

$a^2 = 3$.

$a = \pm\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 1

(3) 15120

(4) 2, 3