与えられた図の斜線部分を表す不等式を求める問題です。ただし、境界線を含むものとします。(1)は三角形の領域、(2)は円と直線の領域です。

1. 問題の内容

与えられた図の斜線部分を表す不等式を求める問題です。ただし、境界線を含むものとします。(1)は三角形の領域、(2)は円と直線の領域です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の領域

3つの頂点の座標はそれぞれ $A(-1, -1)$、$B(2, 4)$、$C(5, 1)$です。

辺ABの方程式を求めます。

傾きは $\frac{4 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{5}{3}$

$y - (-1) = \frac{5}{3}(x - (-1))$

$y + 1 = \frac{5}{3}(x + 1)$

$3y + 3 = 5x + 5$

$5x - 3y + 2 = 0$

領域は直線より上側にあるので、$5x - 3y + 2 \le 0$

辺BCの方程式を求めます。

傾きは $\frac{1 - 4}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$

$y - 4 = -1(x - 2)$

$y - 4 = -x + 2$

$x + y - 6 = 0$

領域は直線より下側にあるので、$x + y - 6 \le 0$

辺CAの方程式を求めます。

傾きは $\frac{-1 - 1}{-1 - 5} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

$y - 1 = \frac{1}{3}(x - 5)$

$3y - 3 = x - 5$

$x - 3y - 2 = 0$

領域は直線より上側にあるので、$x - 3y - 2 \ge 0$

したがって、求める不等式は

$5x - 3y + 2 \le 0$

$x + y - 6 \le 0$

$x - 3y - 2 \ge 0$

(2) 円と直線の領域

円の中心は $(0, 0)$、半径は2なので、円の方程式は $x^2 + y^2 = 4$ です。斜線部分は円の内側なので、$x^2 + y^2 \le 4$ となります。

直線は点 $(2, 0)$ と点 $(0, 2)$ を通るので、傾きは $\frac{2 - 0}{0 - 2} = -1$。したがって、直線の方程式は $y = -x + 2$ 、つまり $x + y = 2$ です。斜線部分は直線の下側なので、$x + y \ge 2$ となります。

したがって、求める不等式は

$x^2 + y^2 \le 4$

$x + y \ge 2$

3. 最終的な答え

(1)

$5x - 3y + 2 \le 0$

$x + y - 6 \le 0$

$x - 3y - 2 \ge 0$

(2)

$x^2 + y^2 \le 4$

$x + y \ge 2$