点 $A(0, \frac{1}{4})$ からの距離と、直線 $y = -\frac{1}{4}$ からの距離が等しい点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点 $A(0, \frac{1}{4})$ からの距離と、直線 $y = -\frac{1}{4}$ からの距離が等しい点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$ とおく。

点Pから点Aまでの距離は、

$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - \frac{1}{4})^2} = \sqrt{x^2 + (y - \frac{1}{4})^2}$

点Pから直線 $y = -\frac{1}{4}$ までの距離は、

$|y - (-\frac{1}{4})| = |y + \frac{1}{4}|$

問題の条件より、これらの距離は等しいので、

$\sqrt{x^2 + (y - \frac{1}{4})^2} = |y + \frac{1}{4}|$

両辺を2乗して、

$x^2 + (y - \frac{1}{4})^2 = (y + \frac{1}{4})^2$

$x^2 + y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16} = y^2 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{16}$

$x^2 - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}y$

$x^2 = y$

したがって、点Pの軌跡は放物線 $y = x^2$ である。

3. 最終的な答え

$y = x^2$