座標平面上に2点A(-1, 4), B(2, 0)と点Pがある。点Pは等式 $(AP + BP)(AP - BP) = 27$ を満たしながら座標平面上を動く。また、不等式 $x^2 + y^2 \le 8x + 10y - 14$ が表す領域をDとする。 (1) 領域Dの中心と半径を求め、2点A, Bと領域Dの関係を調べる。 (2) 点Pの軌跡を求める。 (3) 領域Dの中心Cと点Pの軌跡である直線の距離を求め、点Pが領域D内を通過するときの線分の長さを求める。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(-1, 4), B(2, 0)と点Pがある。点Pは等式 $(AP + BP)(AP - BP) = 27$ を満たしながら座標平面上を動く。また、不等式 $x^2 + y^2 \le 8x + 10y - 14$ が表す領域をDとする。

(1) 領域Dの中心と半径を求め、2点A, Bと領域Dの関係を調べる。

(2) 点Pの軌跡を求める。

(3) 領域Dの中心Cと点Pの軌跡である直線の距離を求め、点Pが領域D内を通過するときの線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

領域Dの不等式を変形する。

$x^2 + y^2 \le 8x + 10y - 14$

$x^2 - 8x + y^2 - 10y \le -14$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 5)^2 - 25 \le -14$

$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 \le 27$

したがって、領域Dは点C(4, 5)を中心とする半径 $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ の円の内部（円周も含む）である。

点A(-1, 4)が領域Dに含まれるかを調べる。

$(-1 - 4)^2 + (4 - 5)^2 = 25 + 1 = 26 \le 27$

点B(2, 0)が領域Dに含まれるかを調べる。

$(2 - 4)^2 + (0 - 5)^2 = 4 + 25 = 29 > 27$

よって、点Aは領域Dに属し、点Bは領域Dに属さない。

(2)

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = (x + 1)^2 + (y - 4)^2$

$BP^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

$(AP + BP)(AP - BP) = AP^2 - BP^2 = 27$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 - ((x - 2)^2 + y^2) = 27$

$(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16) - (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 27$

$6x - 8y + 13 = 27$

$6x - 8y - 14 = 0$

$3x - 4y - 7 = 0$

(3)

領域Dの中心C(4, 5)と直線 $3x - 4y - 7 = 0$ の距離dを求める。

$d = \frac{|3(4) - 4(5) - 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 - 20 - 7|}{5} = \frac{|-15|}{5} = 3$

領域Dの半径は $3\sqrt{3}$ であり、中心Cから直線までの距離dは3である。

点Pが領域D内を通過するとき、点Pの軌跡は直線と円Dの交わる部分の線分となる。

線分の長さ $l$ は、

$l = 2\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = 2\sqrt{27 - 9} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 領域Dは、点C(4, 5)を中心とする半径 $3\sqrt{3}$ の円の内部（円周を含む）。2点A, Bと領域Dについて、点Aは領域Dに属するが、点Bは領域Dに属さない。

(2) $AP^2 = (x + 1)^2 + (y - 4)^2$, $BP^2 = (x - 2)^2 + y^2$ であるから、点Pの軌跡は直線 $3x - 4y - 7 = 0$ である。

(3) 領域Dの中心Cと直線(*)の距離は3であるから、点Pが領域D内を通過するとき、点Pがえがく線分の長さは $6\sqrt{2}$ である。