集合 $X = \{1, 2, 3\}$ の部分集合 $A$, $B$ が以下の条件(i), (ii)を満たしているとき、このような $A$, $B$ の組はいくつあるかを求める問題です。 (i) $B \subset A$ (ii) 集合 $B$ の要素の個数が、$B$ の要素にもなっている。

1. 問題の内容

集合 $X = \{1, 2, 3\}$ の部分集合 $A$, $B$ が以下の条件(i), (ii)を満たしているとき、このような $A$, $B$ の組はいくつあるかを求める問題です。

(i) $B \subset A$

(ii) 集合 $B$ の要素の個数が、$B$ の要素にもなっている。

2. 解き方の手順

条件(ii)より、$B$ の要素の個数 $n$ は $B$ の要素である必要があります。したがって、$n \in B$ である必要があります。

$B$ は $X$ の部分集合なので、$n$ は1, 2, 3 のいずれかです。

$B$ の要素の個数 $n$ は $B$ に含まれるため、$B$ は空集合ではありません。

それぞれの $n$ について、$B$ を決定し、$B \subset A$ を満たす $A$ を数え上げます。

(a) $B$ の要素の個数が 1 の場合:

$B = \{1\}$ のとき、$1 \in B$ を満たします。$B = \{1\}$ のとき、$A$ は $\{1, 2, 3\}$ のうち 1 を含む部分集合なので、可能な $A$ は $\{1\}$, $\{1, 2\}$, $\{1, 3\}$, $\{1, 2, 3\}$ の4つです。

$B = \{2\}$ のとき、$2 \in B$ を満たします。$B = \{2\}$ のとき、$A$ は $\{1, 2, 3\}$ のうち 2 を含む部分集合なので、可能な $A$ は $\{2\}$, $\{1, 2\}$, $\{2, 3\}$, $\{1, 2, 3\}$ の4つです。

$B = \{3\}$ のとき、$3 \in B$ を満たします。$B = \{3\}$ のとき、$A$ は $\{1, 2, 3\}$ のうち 3 を含む部分集合なので、可能な $A$ は $\{3\}$, $\{1, 3\}$, $\{2, 3\}$, $\{1, 2, 3\}$ の4つです。

(b) $B$ の要素の個数が 2 の場合:

$B = \{1, 2\}$ のとき、$2 \in B$ を満たしますが、$2 \neq |B|$ より、条件を満たしません。$2 \in B$ は成り立つので、$B=\{2,3\}$ の時に、$|B|=2\in B$ は成り立つので、条件を満たします。$B=\{2,3\}$ の時、$A$ は $\{2,3\}, \{1,2,3\}$の2つです。同様に、$B = \{1,2\}$ について、$|B| = 2$ なので、$2 \in B$ を確認する必要があります。$2 \in \{1, 2\}$ なので、条件を満たします。可能な $A$ は $\{1, 2\}$ と $\{1, 2, 3\}$ です。

$B = \{1, 3\}$ のとき、$|B| = 2$ ですが、$2 \notin B$ なので、条件を満たしません。

$B = \{2, 3\}$ のとき、$|B| = 2$ ですが、$2 \in B$ なので、条件を満たします。可能な $A$ は $\{2, 3\}$ と $\{1, 2, 3\}$ です。

(c) $B$ の要素の個数が 3 の場合:

$B = \{1, 2, 3\}$ のとき、$|B| = 3$ であり、$3 \in B$ なので、条件を満たします。$A$ は $\{1, 2, 3\}$ のみです。

合計すると、$4+4+4+2+2+1=17$

3. 最終的な答え

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