2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求めます。ただし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とします。 (1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\theta = 60^\circ$ (2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\theta = 135^\circ$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求めます。ただし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とします。

(1) $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\theta = 60^\circ$

(2) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\theta = 135^\circ$

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積は、以下の式で計算できます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

(1)

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\theta = 60^\circ$ を代入します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

(2)

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 4$, $\theta = 135^\circ$ を代入します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 \cdot \cos 135^\circ = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\sqrt{2}$