xy平面上に直線 $l: y = x + 1$ と円 $C_0: x^2 + y^2 = 2$ がある。直線 $l$ と円 $C_0$ の2交点を A, B とする。 (1) 線分 AB の長さを求める。 (2) 3点 O, A, B を通る円 $C_1$ の方程式を求める。円 $C_0$ と円 $C_1$ の両方に接する直線の方程式を求める。 (3) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 2, (x + イ)^2 + (y - ウ)^2 \le エ$ で表される領域を D とする。∠AOB を求め、領域 D の面積 S を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に直線 $l: y = x + 1$ と円 $C_0: x^2 + y^2 = 2$ がある。直線 $l$ と円 $C_0$ の2交点を A, B とする。

(1) 線分 AB の長さを求める。

(2) 3点 O, A, B を通る円 $C_1$ の方程式を求める。円 $C_0$ と円 $C_1$ の両方に接する直線の方程式を求める。

(3) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 2, (x + イ)^2 + (y - ウ)^2 \le エ$ で表される領域を D とする。∠AOB を求め、領域 D の面積 S を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = x + 1$ を円 $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (x + 1)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2$

$2x^2 + 2x - 1 = 0$

この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係より

$x_1 + x_2 = -1, x_1 x_2 = -\frac{1}{2}$

A, B の座標をそれぞれ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ とすると、

$y_1 = x_1 + 1, y_2 = x_2 + 1$

$AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 = 2 (x_2 - x_1)^2$

$= 2 ((x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2) = 2 ((-1)^2 - 4(-\frac{1}{2})) = 2 (1 + 2) = 6$

よって、$AB = \sqrt{6}$

(2) 3点 O(0, 0), A(x_1, x_1 + 1), B(x_2, x_2 + 1) を通る円 $C_1$ の方程式を求める。

円 $C_1$ の中心を (a, b) とすると、

$a^2 + b^2 = (x_1 - a)^2 + (x_1 + 1 - b)^2 = (x_2 - a)^2 + (x_2 + 1 - b)^2$

$a^2 + b^2 = x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + x_1^2 + 2x_1 + 1 - 2bx_1 - 2b + b^2$

$0 = 2x_1^2 - 2ax_1 + 2x_1 - 2bx_1 - 2b + 1$

$a^2 + b^2 = x_2^2 - 2ax_2 + a^2 + x_2^2 + 2x_2 + 1 - 2bx_2 - 2b + b^2$

$0 = 2x_2^2 - 2ax_2 + 2x_2 - 2bx_2 - 2b + 1$

$2x_1^2 + 2x_1 + 1 = 2(a + b) x_1 + 2b$

$2x_2^2 + 2x_2 + 1 = 2(a + b) x_2 + 2b$

$2(x^2 + x) + 1 = 2(a + b) x + 2b$ を満たす $x_1, x_2$ は $2x^2 + 2x - 1 = 0$ の解だから、

$2x^2 + 2x - 1 = 2(a + b) x + 2b$ は恒等式。

$2 = 2(a + b) \Rightarrow a + b = 1$

$-1 = 2b \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$

$a = 1 - b = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

円 $C_1$ の中心 $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$

円 $C_1$ の半径 $r^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

円 $C_1$ の方程式 $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}$

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} = \frac{5}{2}$

$x^2 + y^2 - 3x + y + \frac{10}{4} = \frac{10}{4}$

$x^2 + y^2 - 3x + y = 0$

共通接線

円 $C_0: x^2 + y^2 = 2$ の半径 $\sqrt{2}$

円 $C_1: (x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}$ の半径 $\sqrt{\frac{5}{2}}$

原点と円 $C_1$ の中心との距離 $\sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$

傾きが1の共通接線 $y = x + 1$

(3) 連立不等式 $x^2 + y^2 \le 2, (x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 \le \frac{5}{2}$ で表される領域 D。

$\angle AOB$

$OA = OB = \sqrt{2}$

$AB = \sqrt{6}$

余弦定理より

$\cos \angle AOB = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2OA \cdot OB} = \frac{2 + 2 - 6}{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$\angle AOB = \frac{2}{3}\pi = 120^{\circ}$

領域 D の面積 S

扇形 OAB の面積 = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} \pi = \frac{2}{3} \pi$

三角形 OAB の面積 = $\frac{1}{2} OA \cdot OB \sin \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin \frac{2}{3} \pi = \sin \frac{2}{3} \pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

S = 扇形 OAB の面積 - 三角形 OAB の面積

$S = \frac{2}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = \sqrt{6}$

(2) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}$

(3) $\angle AOB = \frac{2}{3} \pi$

$S = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{6}$