Aの袋には赤玉3個と白玉2個が入っており、Bの袋には赤玉2個と白玉2個が入っています。Aから3個、Bから2個を同時に取り出すとき、取り出した5個の玉に含まれる白玉の個数の期待値、分散、標準偏差を求めます。

1. 問題の内容

Aの袋には赤玉3個と白玉2個が入っており、Bの袋には赤玉2個と白玉2個が入っています。Aから3個、Bから2個を同時に取り出すとき、取り出した5個の玉に含まれる白玉の個数の期待値、分散、標準偏差を求めます。

2. 解き方の手順

まず、Aの袋から取り出す白玉の個数を$X$、Bの袋から取り出す白玉の個数を$Y$とします。

$X$と$Y$は独立な確率変数です。

取り出される白玉の総数$Z = X + Y$について、期待値$E[Z]$、分散$V[Z]$、標準偏差$\sigma[Z]$を計算します。

(1) $X$の確率分布を求めます。

Aの袋には5個の玉があり、そのうち白玉は2個です。3個取り出すとき、白玉が$x$個（$x=0, 1, 2$）含まれる確率は、次のようになります。

$P(X=0) = \frac{{}_3C_3}{{}_5C_3} = \frac{1}{10}$

$P(X=1) = \frac{{}_3C_2 \cdot {}_2C_1}{{}_5C_3} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$P(X=2) = \frac{{}_3C_1 \cdot {}_2C_2}{{}_5C_3} = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10}$

$X$の期待値は、

$E[X] = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{6}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$X^2$の期待値は、

$E[X^2] = 0^2 \cdot \frac{1}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$X$の分散は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{9}{5} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{9}{5} - \frac{36}{25} = \frac{45}{25} - \frac{36}{25} = \frac{9}{25}$

(2) $Y$の確率分布を求めます。

Bの袋には4個の玉があり、そのうち白玉は2個です。2個取り出すとき、白玉が$y$個（$y=0, 1, 2$）含まれる確率は、次のようになります。

$P(Y=0) = \frac{{}_2C_2}{{}_4C_2} = \frac{1}{6}$

$P(Y=1) = \frac{{}_2C_1 \cdot {}_2C_1}{{}_4C_2} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$P(Y=2) = \frac{{}_2C_0 \cdot {}_2C_2}{{}_4C_2} = \frac{1}{6}$

$Y$の期待値は、

$E[Y] = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{4}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$Y^2$の期待値は、

$E[Y^2] = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{4}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$Y$の分散は、

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{4}{3} - (1)^2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

(3) $Z = X + Y$の期待値、分散、標準偏差を求めます。

$E[Z] = E[X+Y] = E[X] + E[Y] = \frac{6}{5} + 1 = \frac{6}{5} + \frac{5}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$

$V[Z] = V[X+Y] = V[X] + V[Y] = \frac{9}{25} + \frac{1}{3} = \frac{27}{75} + \frac{25}{75} = \frac{52}{75}$

$\sigma[Z] = \sqrt{V[Z]} = \sqrt{\frac{52}{75}} = \sqrt{\frac{52}{75}} = \frac{2\sqrt{13}}{5\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{39}}{15}$

3. 最終的な答え

期待値: $\frac{11}{5}$

分散: $\frac{52}{75}$

標準偏差: $\frac{2\sqrt{39}}{15}$