数直線上を動く点Pが原点にある。サイコロを6回投げる。1または2の目が出るとPは正の向きに2進み、それ以外の目が出るとPは負の向きに1進む。6回サイコロを投げた後、Pが原点に戻る確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にある。サイコロを6回投げる。1または2の目が出るとPは正の向きに2進み、それ以外の目が出るとPは負の向きに1進む。6回サイコロを投げた後、Pが原点に戻る確率を求める。

2. 解き方の手順

1または2の目が出る回数を $x$ 回とすると、他の目が出る回数は $6-x$ 回となる。

Pが原点に戻るためには、移動距離の合計が0である必要がある。

したがって、以下の式が成り立つ。

$2x - (6-x) = 0$

$3x = 6$

$x = 2$

つまり、1または2の目が2回、それ以外の目が4回出る必要がある。

1または2の目が出る確率は $2/6 = 1/3$ である。

他の目が出る確率は $4/6 = 2/3$ である。

6回中2回、1または2の目が出る確率は、二項定理を使って計算できる。

確率は次の式で表される。

${}_6 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^4$

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、求める確率は

$15 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^4 = 15 \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = 15 \times \frac{16}{729} = \frac{240}{729}$

約分すると

$\frac{240}{729} = \frac{80}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{243}$