与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 + \left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、数式の最初の項を簡略化します。

$\left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( \frac{k}{\pi+6} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{8(\pi+6)^{\frac{3}{2}}}$

したがって、最初の項は次のようになります。

$\frac{4}{3}\pi \left( \frac{k^{\frac{3}{2}}}{8(\pi+6)^{\frac{3}{2}}} \right) = \frac{\pi k^{\frac{3}{2}}}{6(\pi+6)^{\frac{3}{2}}}$

次に、数式の2番目の項を簡略化します。

$\left( \frac{k-4\pi \cdot 4(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{\pi k^{\frac{3}{2}}}{6(\pi+6)^{\frac{3}{2}}} + \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$

これ以上簡略化することは難しいようです。問題に具体的な $k$ の値が与えられていないため、この式が最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi k^{\frac{3}{2}}}{6(\pi+6)^{\frac{3}{2}}} + \left( \frac{k-16\pi(\pi+6)}{6} \right)^{\frac{3}{2}}$