不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が成り立つことを証明する問題で、証明の途中の空欄を埋め、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が成り立つことを証明する問題で、証明の途中の空欄を埋め、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、与式の左辺から右辺を引いた式を変形していく。

$(x^2 + 1)(y^2 + 1) - 4xy = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 - 4xy$

次に、この式を平方完成を目指して変形する。

$x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 - 4xy = (x^2y^2 - 2xy + 1) + (x^2 - 2xy + y^2)$

$= (xy - 1)^2 + (x - y)^2$

ここで、$(xy - 1)^2 \ge 0$ および $(x - y)^2 \ge 0$ であるから、$(xy - 1)^2 + (x - y)^2 \ge 0$ が成り立つ。

したがって、$(x^2 + 1)(y^2 + 1) - 4xy \ge 0$ となり、$(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 4xy$ が証明できた。

等号が成り立つのは、$(xy - 1)^2 = 0$ かつ $(x - y)^2 = 0$ のときである。

$(x - y)^2 = 0$ より、$x = y$ である。

$(xy - 1)^2 = 0$ より、$xy = 1$ である。

$x = y$ を $xy = 1$ に代入すると、$x^2 = 1$ となるから、$x = \pm 1$ である。

$x = y$ であるから、$x = 1$ のとき $y = 1$、$x = -1$ のとき $y = -1$。

よって、等号が成り立つのは、$x = y = 1$ または $x = y = -1$ のときである。

3. 最終的な答え

最初の空欄: $(xy-1)^2$

2番目の空欄: $4xy$

3番目の空欄: $1$