与えられた3つの分数式を部分分数に分解します。 (1) $\frac{x+3}{x^2+3x+2}$ (2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$ (3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの分数式を部分分数に分解します。

(1) $\frac{x+3}{x^2+3x+2}$

(2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$

(3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x+3}{x^2+3x+2}$ の場合：

まず、分母を因数分解します。

$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

したがって、

$\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$

とおけます。両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると、

$x+3 = A(x+2) + B(x+1)$

$x=-1$ を代入すると、$2 = A(1) + B(0) \implies A=2$

$x=-2$ を代入すると、$1 = A(0) + B(-1) \implies B=-1$

よって、$\frac{x+3}{x^2+3x+2} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)}$ の場合：

$x^2 - x + 1$ は因数分解できないため、

$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

とおきます。両辺に $(x+2)(x^2-x+1)$ を掛けると、

$4x+1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+2)$

$4x+1 = Ax^2 -Ax + A + Bx^2 + 2Bx + Cx + 2C$

$4x+1 = (A+B)x^2 + (-A+2B+C)x + (A+2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$-A+2B+C = 4$

$A+2C = 1$

$A=-B$ を $-A+2B+C = 4$ に代入すると、$3B+C = 4$

$A=-B$ を $A+2C = 1$ に代入すると、$-B+2C = 1$

連立方程式

$3B+C = 4$

$-B+2C = 1$

を解くと、$3B+C=4$ および $-3B+6C=3$ より $7C=7$ なので、$C=1$

$-B+2(1)=1$ より $-B=-1$ なので、$B=1$

$A=-B$ より $A=-1$

よって、$\frac{4x+1}{(x+2)(x^2-x+1)} = \frac{-1}{x+2} + \frac{x+1}{x^2-x+1}$

(3) $\frac{x}{(x+2)(x+1)^2}$ の場合：

$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$

とおきます。両辺に $(x+2)(x+1)^2$ を掛けると、

$x = A(x+1)^2 + B(x+2)(x+1) + C(x+2)$

$x = A(x^2+2x+1) + B(x^2+3x+2) + C(x+2)$

$x = Ax^2 + 2Ax + A + Bx^2 + 3Bx + 2B + Cx + 2C$

$x = (A+B)x^2 + (2A+3B+C)x + (A+2B+2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 0$

$2A+3B+C = 1$

$A+2B+2C = 0$

$A=-B$ を $2A+3B+C = 1$ に代入すると、$-2B+3B+C = 1 \implies B+C=1$

$A=-B$ を $A+2B+2C = 0$ に代入すると、$-B+2B+2C = 0 \implies B+2C = 0$

連立方程式

$B+C = 1$

$B+2C = 0$

を解くと、$B+C=1$ および $B+2C=0$ より $C=-1$

$B+C=1$ より $B=2$

$A=-B$ より $A=-2$

よって、$\frac{x}{(x+2)(x+1)^2} = \frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

(2) $\frac{-1}{x+2} + \frac{x+1}{x^2-x+1}$

(3) $\frac{-2}{x+2} + \frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}$