1. 指数方程式 $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

1. 指数方程式 $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} - 16 = 0$ を解く。

2. 対数不等式 $2 \log_4(7x+1) < 1 + \log_2(2x+9)$ を解く。

2. 解き方の手順

1. 指数方程式

まず、与えられた方程式を変形します。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であり、$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ であることを利用します。

$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、方程式は次のようになります。

$t^2 - 6t - 16 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(t-8)(t+2) = 0$

$t = 8, -2$

$t>0$ より $t = 8$

したがって、$2^x = 8 = 2^3$

よって、$x = 3$

2. 対数不等式

まず、真数条件を確認します。

$7x+1 > 0$ より $x > -\frac{1}{7}$

$2x+9 > 0$ より $x > -\frac{9}{2}$

したがって、$x > -\frac{1}{7}$ が必要です。

次に、不等式を変形します。

$2 \log_4(7x+1) < 1 + \log_2(2x+9)$

$\log_2(7x+1) < 1 + \log_2(2x+9)$ ($\log_4(7x+1) = \frac{\log_2(7x+1)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(7x+1)}{2}$ より。)

$\log_2(7x+1) < \log_2 2 + \log_2(2x+9)$

$\log_2(7x+1) < \log_2[2(2x+9)]$

$\log_2(7x+1) < \log_2(4x+18)$

底が2で1より大きいので、真数の大小関係は不等号の向きを変えずにそのままになります。

$7x+1 < 4x+18$

$3x < 17$

$x < \frac{17}{3}$

真数条件と合わせて考えると、$-\frac{1}{7} < x < \frac{17}{3}$

3. 最終的な答え

1. 指数方程式: $x = 3$

2. 対数不等式: $-\frac{1}{7} < x < \frac{17}{3}$