問題2は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ および初期条件 $a_1 = 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

はい、承知いたしました。数列の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題2は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ および初期条件 $a_1 = 3$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+1} - \alpha = 3(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を探します。

この式を展開すると、$a_{n+1} = 3a_n - 2\alpha$ となり、元の漸化式と比較すると、$-2\alpha = -4$ である必要があります。したがって、$\alpha = 2$ となります。

よって、漸化式は $a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 3 の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ となります。

したがって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ です。

$a_n = b_n + 2$ であるから、$a_n = 3^{n-1} + 2$ となります。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は、

$a_n = 3^{n-1} + 2$

です。