与えられた二重和 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} k$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた二重和 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{i} k$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず内側の和を計算します。

$$\sum_{k=1}^{i} k = \frac{i(i+1)}{2}$$

次に、この結果を用いて外側の和を計算します。

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{i(i+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (i^2 + i) = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} i \right)$$

ここで、$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使います。

$$\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2} \right)$$

$$= \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+1+3}{6} \right) = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{2n+4}{6} \right) = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n+2}{3} \right)$$

$$= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$