与えられた組み合わせの式 $_{n+1}C_{n-1}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた組み合わせの式 $_{n+1}C_{n-1}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

組み合わせの定義を思い出します。

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_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}

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ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表します。

問題の式 $_{n+1}C_{n-1}$ に組み合わせの定義を適用します。

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!((n+1)-(n-1))!}

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式を簡略化します。

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!}

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階乗の定義から、$(n+1)! = (n+1) \times n \times (n-1)!$ となります。

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{(n+1) \times n \times (n-1)!}{(n-1)! \times 2}

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$(n-1)!$ を分子と分母からキャンセルします。

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{(n+1) \times n}{2}

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整理します。

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2}

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_{n+1}C_{n-1} = \frac{n^2 + n}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)}{2}$