与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) と、それらに対応する固有ベクトル $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}, \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) と、それらに対応する固有ベクトル $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}, \mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を計算します。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで $I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -6-\lambda & -2 \\ -2 & -3-\lambda \end{pmatrix}$

固有方程式は

$\det(A - \lambda I) = (-6-\lambda)(-3-\lambda) - (-2)(-2) = 0$

$(6+\lambda)(3+\lambda) - 4 = 0$

$18 + 9\lambda + \lambda^2 - 4 = 0$

$\lambda^2 + 9\lambda + 14 = 0$

$(\lambda + 2)(\lambda + 7) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -7$ と $\lambda_2 = -2$ です。 ($\lambda_1 < \lambda_2$ を満たすように並べています。)

次に、固有値に対応する固有ベクトルを計算します。

$\lambda_1 = -7$ に対応する固有ベクトル $\mathbf{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_1 I)\mathbf{x}_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -6-(-7) & -2 \\ -2 & -3-(-7) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$1 - 2x_{21} = 0$

$x_{21} = \frac{1}{2}$

$\lambda_2 = -2$ に対応する固有ベクトル $\mathbf{x}_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_2 I)\mathbf{x}_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -6-(-2) & -2 \\ -2 & -3-(-2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-4x_{12} - 2 = 0$

$-4x_{12} = 2$

$x_{12} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = -7$

$\lambda_2 = -2$

$x_{21} = \frac{1}{2}$

$x_{12} = -\frac{1}{2}$