行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$ の固有値を $\lambda_1 < \lambda_2$ とし、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$ と $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。$\lambda_1, \lambda_2, x_{21}, x_{12}$ を求めよ。

## 左側の問題

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$ の固有値を $\lambda_1 < \lambda_2$ とし、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$ と $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。$\lambda_1, \lambda_2, x_{21}, x_{12}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられる。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 4 \\ 9 & 6 - \lambda \end{vmatrix} = (-3 - \lambda)(6 - \lambda) - (4)(9) = -18 + 3\lambda - 6\lambda + \lambda^2 - 36 = \lambda^2 - 3\lambda - 54 = (\lambda - 9)(\lambda + 6) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -6$ と $\lambda_2 = 9$ である。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める。

固有値 $\lambda_1 = -6$ に対応する固有ベクトル $x_1$ は $(A - \lambda_1 I)x_1 = 0$ を満たす。

$(A - \lambda_1 I)x_1 = \begin{pmatrix} -3 - (-6) & 4 \\ 9 & 6 - (-6) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = 0$

$3(1) + 4x_{21} = 0$ より $x_{21} = -\frac{3}{4}$

固有値 $\lambda_2 = 9$ に対応する固有ベクトル $x_2$ は $(A - \lambda_2 I)x_2 = 0$ を満たす。

$(A - \lambda_2 I)x_2 = \begin{pmatrix} -3 - 9 & 4 \\ 9 & 6 - 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & 4 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = 0$

$-12x_{12} + 4 = 0$ より $x_{12} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = -6$

$\lambda_2 = 9$

$x_{21} = -\frac{3}{4}$

$x_{12} = \frac{1}{3}$

## 右側の問題

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 9 & -2 \end{pmatrix}$ の固有値を $\lambda_1 < \lambda_2$ とし、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$ と $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。$\lambda_1, \lambda_2, x_{21}, x_{12}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ で与えられる。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 9 - \lambda & -2 \\ 9 & -2 - \lambda \end{vmatrix} = (9 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-2)(9) = -18 - 9\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 18 = \lambda^2 - 7\lambda = \lambda(\lambda - 7) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0$ と $\lambda_2 = 7$ である。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求める。

固有値 $\lambda_1 = 0$ に対応する固有ベクトル $x_1$ は $(A - \lambda_1 I)x_1 = 0$ を満たす。

$(A - \lambda_1 I)x_1 = \begin{pmatrix} 9 - 0 & -2 \\ 9 & -2 - 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ 9 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = 0$

$9(1) - 2x_{21} = 0$ より $x_{21} = \frac{9}{2}$

固有値 $\lambda_2 = 7$ に対応する固有ベクトル $x_2$ は $(A - \lambda_2 I)x_2 = 0$ を満たす。

$(A - \lambda_2 I)x_2 = \begin{pmatrix} 9 - 7 & -2 \\ 9 & -2 - 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 9 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = 0$

$2x_{12} - 2 = 0$ より $x_{12} = 1$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = 0$

$\lambda_2 = 7$

$x_{21} = \frac{9}{2}$

$x_{12} = 1$