多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、多項式 $P(x)$ を $x - c$ で割ったときの余りは $P(c)$ で与えられます。

この問題では、$P(x) = x^3 + ax^2 - x - 12$ であり、$x + 2$ で割るので、$c = -2$ です。

余りが $-2$ であることから、$P(-2) = -2$ となります。

したがって、

$P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) - 12 = -2$

$-8 + 4a + 2 - 12 = -2$

$4a - 18 = -2$

$4a = 16$

$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$