$2+\sqrt{2}$ と $2-\sqrt{2}$ を解とする、$x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$2+\sqrt{2}$ と $2-\sqrt{2}$ を解とする、$x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

二次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ であるとき、その二次方程式は

$$(x-\alpha)(x-\beta) = 0$$

と表すことができます。

展開すると、

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

となります。

この問題では、$\alpha = 2+\sqrt{2}$ と $\beta = 2-\sqrt{2}$ ですから、

$$\alpha + \beta = (2+\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2}) = 4$$

$$\alpha\beta = (2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$$

よって、求める二次方程式は

$$x^2 - 4x + 2 = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 4x + 2 = 0$