与えられた4次式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2$ を有理数の範囲で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2$ を有理数の範囲で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、有理数定理を用いて、与えられた4次式の有理数解を探します。有理数解の候補は、定数項（-2）の約数（±1, ±2）を最高次の係数（1）の約数（±1）で割ったものです。つまり、有理数解の候補は±1, ±2です。

$x = 1$ を代入すると、$1 + 2 - 4 - 7 - 2 = -10 \neq 0$

$x = -1$ を代入すると、$1 - 2 - 4 + 7 - 2 = 0$

したがって、$x = -1$ は解の一つであり、$x + 1$ は因数です。

次に、与えられた式を $x + 1$ で割ります。

$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x + 1)(x^3 + x^2 - 5x - 2)$

次に、$x^3 + x^2 - 5x - 2$ を因数分解します。再び有理数定理を適用します。

$x = -2$ を代入すると、$(-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 2 = -8 + 4 + 10 - 2 = 4 \neq 0$

$x = 2$ を代入すると、$2^3 + 2^2 - 5(2) - 2 = 8 + 4 - 10 - 2 = 0$

したがって、$x = 2$ は解の一つであり、$x - 2$ は因数です。

$x^3 + x^2 - 5x - 2$ を $x - 2$ で割ります。

$x^3 + x^2 - 5x - 2 = (x - 2)(x^2 + 3x + 1)$

したがって、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x + 1)(x - 2)(x^2 + 3x + 1)$

最後に、$x^2 + 3x + 1$ を因数分解できるか確認します。判別式 $D = 3^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0$ なので、実数解を持ちます。しかし、$D$ が平方数ではないため、有理数解を持ちません。したがって、$x^2 + 3x + 1$ は有理数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x + 1)(x - 2)(x^2 + 3x + 1)$