$a, b$ が正の数で $a + b = 2$ であるとき、不等式 $a^2 + b^2 \geq 2$ を証明する問題です。空欄を埋める形式で証明を完成させます。

1. 問題の内容

$a, b$ が正の数で $a + b = 2$ であるとき、不等式 $a^2 + b^2 \geq 2$ を証明する問題です。空欄を埋める形式で証明を完成させます。

2. 解き方の手順

(1)

左辺-右辺 $a^2 + b^2 - 2 = (\boxed{?})^2 - 2ab - 2$ の $\boxed{?}$ を埋めます。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ なので、 $a^2 + b^2 - 2 = (a+b)^2 - 2ab - 2$ となります。

したがって、(1)は $a+b$ です。

(2)

$a+b=2$ より、$b = \boxed{?}$ を埋めます。

$a+b=2$ なので、$b = 2-a$ です。

したがって、(2)は $2-a$ です。

(3)

$(1)^2 - 2ab - 2 = 2(\boxed{?})^2$ の $\boxed{?}$ を埋めます。

$(a+b)^2 - 2ab - 2 = 2^2 - 2a(2-a) - 2 = 4 - 4a + 2a^2 - 2 = 2a^2 - 4a + 2 = 2(a^2 - 2a + 1) = 2(a-1)^2$

したがって、(3)は $a-1$ です。

(実数)$^2 \geq 0$ より、$(a-1)^2 \geq 0$

したがって、$2(a-1)^2 \geq 0$

よって、$a^2 + b^2 \geq 2$

3. 最終的な答え

(1) $a+b$

(2) $2-a$

(3) $a-1$