与えられた不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ を簡略化し、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ を簡略化し、$x + \frac{1}{x} \geq 2$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$

根号の中を簡略化します。

$x \cdot \frac{1}{x} = 1$

したがって、不等式は次のようになります。

$x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{1}$

$\sqrt{1} = 1$なので、

$x + \frac{1}{x} \geq 2 \cdot 1$

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

これは問題文の「よって」の後に書かれている不等式と同じです。

相加平均と相乗平均の関係を使うことでも示すことができます。$x > 0$ のとき、$x$ と $\frac{1}{x}$ の相加平均は $\frac{x + \frac{1}{x}}{2}$ であり、相乗平均は $\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1$ です。相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq 1$

両辺に2をかけると、

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} \geq 2$