関数 $y = \log_2(x-2) + 2\log_4(3-x)$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2(x-2) + 2\log_4(3-x)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件から、$x-2 > 0$ かつ $3-x > 0$ である必要がある。

よって、$2 < x < 3$ である。

次に、底の変換公式を用いて、すべての対数を底が2の対数に変換する。

$2\log_4(3-x) = 2\frac{\log_2(3-x)}{\log_2 4} = 2\frac{\log_2(3-x)}{2} = \log_2(3-x)$

したがって、

$y = \log_2(x-2) + \log_2(3-x) = \log_2((x-2)(3-x))$

ここで、$f(x) = (x-2)(3-x) = -x^2 + 5x - 6$ とおく。

$f(x)$ は上に凸な放物線である。

$f(x)$ の最大値を求めるために、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 5x) - 6 = -(x^2 - 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) - 6 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 6 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$

よって、$f(x)$ は $x = \frac{5}{2}$ で最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

$\frac{5}{2}$ は、$2 < x < 3$ を満たす。

したがって、$y$ の最大値は、

$y = \log_2(\frac{1}{4}) = \log_2(2^{-2}) = -2$

3. 最終的な答え

最大値は -2