$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義する。漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ を利用して、$I_8$ の値を求める。

1. 問題の内容

$I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義する。漸化式 $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$ を利用して、$I_8$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$I_0$ と $I_1$ を計算する。

$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^0 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1$

次に、漸化式を使って $I_2$, $I_4$, $I_6$, $I_8$ を順に求める。

$I_2 = \frac{0+1}{0+2} I_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

$I_4 = \frac{2+1}{2+2} I_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{16}$

$I_6 = \frac{4+1}{4+2} I_4 = \frac{5}{6} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{5\pi}{32}$

$I_8 = \frac{6+1}{6+2} I_6 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5\pi}{32} = \frac{35\pi}{256}$

3. 最終的な答え

$I_8 = \frac{35\pi}{256}$