関数 $y = \cos x$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2階微分と3階微分をそれぞれ求めます。 (2) $\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となる整数 $n$ をすべて求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2階微分と3階微分をそれぞれ求めます。

(2) $\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となる整数 $n$ をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y = \cos x$ の1階微分を求めます。

$\frac{dy}{dx} = -\sin x$

次に、2階微分を求めます。

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$

最後に、3階微分を求めます。

$\frac{d^3 y}{dx^3} = \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$

(2) $y = \cos x$ の $n$ 階微分が $\cos x$ となる $n$ を求めます。

$\cos x$ を繰り返し微分すると、

1階微分: $-\sin x$

2階微分: $-\cos x$

3階微分: $\sin x$

4階微分: $\cos x$

となり、4回微分するごとに元の関数に戻ります。

したがって、$\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となるのは、$n$ が 4 の倍数のときです。つまり、$n = 4k$ （$k$ は整数）のときです。

3. 最終的な答え

(1) 2階微分: $-\cos x$, 3階微分: $\sin x$

(2) $n = 4k$ ($k$ は整数)