関数 $y = \cos x$ について、以下の2つの問いに答える。 (1) 2階微分、3階微分をそれぞれ求める。 (2) $\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となる整数 $n$ を全て求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos x$ について、以下の2つの問いに答える。

(1) 2階微分、3階微分をそれぞれ求める。

(2) $\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となる整数 $n$ を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、1階微分を求める。

$y = \cos x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -\sin x$

次に、2階微分を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x$

次に、3階微分を求める。

$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x$

(2) $y = \cos x$ を $n$ 回微分したものが $\cos x$ となる $n$ を求める。

$y^{(0)} = \cos x$

$y^{(1)} = -\sin x$

$y^{(2)} = -\cos x$

$y^{(3)} = \sin x$

$y^{(4)} = \cos x$

微分を4回行うごとに元に戻ることがわかる。

したがって、$n$ が4の倍数、つまり $n = 4k$ (kは整数) のとき、

$\frac{d^n y}{dx^n} = \cos x$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 2階微分: $-\cos x$

3階微分: $\sin x$

(2) $n = 4k$ (kは整数)