与えられた級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{3}{4}\right)^n - \frac{1}{3^n} \right\}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

与えられた級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求めます。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{3}{4}\right)^n - \frac{1}{3^n} \right\}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

(1) の場合

与えられた級数を二つの級数に分けます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n$と$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}$はそれぞれ公比が$\frac{3}{4}$と$\frac{1}{3}$の等比級数なので、どちらも収束します。

等比級数の和の公式は$S = \frac{a}{1-r}$ (ただし、$|r|<1$, $a$は初項, $r$は公比)です。

それぞれの和を求めます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、与えられた級数の和は

$\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{3}{4}\right)^n - \frac{1}{3^n} \right\} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

(2) の場合

$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n\pi}{2}$

$n=1,2,3,4,5,6,...$ に対する $\cos \frac{n\pi}{2}$ の値は $0, -1, 0, 1, 0, -1, ...$ と周期4で繰り返されます。

したがって、与えられた級数は

$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \cos \frac{n\pi}{2} = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot 0 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot (-1) + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 0 + \left( \frac{1}{2} \right)^4 \cdot 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^5 \cdot 0 + \left( \frac{1}{2} \right)^6 \cdot (-1) + ...$

$= - \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^4 - \left( \frac{1}{2} \right)^6 + ...$

$= - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + ...$

これは、初項が $-\frac{1}{4}$、公比が $-\frac{1}{4}$ の等比級数です。

和は $S = \frac{-\frac{1}{4}}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}} = - \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $-\frac{1}{5}$